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ivan7230 發表於 2017-5-23 01:50 PM

高中極限與微積分3






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antonius 發表於 2017-5-29 02:07 AM

本帖最後由 antonius 於 2017-5-29 02:09 AM 編輯

函數可微分, 必需從連續性判斷. B, D 等於 x², x³, 很自然都是連續函數.

E 的話圖形應該是這樣. 這項要比較注意.
   

joebin 發表於 2017-5-29 08:09 PM

5.
在x = 0可微分代表lim(x→0+) = lim(x→0-)有連續,且其值非無限大或不存在
(A) 因為 = -1,lim(x→0+)f(x) = x,lim(x→0-)f(x) = -x,不連續
(B) lim(x→0+)f(x) = x^2,lim(x→0-)f(x) = x^2,連續
(C) lim(x→0+)f(x) = 3x - x^2,lim(x→0-)f(x) = x^2 - 3x,不連續
(D) lim(x→0+)f(x) = x^3,lim(x→0-)f(x) = -x^3,不連續
(E) lim(x→0+)f(x) = x^2開立方根,lim(x→0-)f(x) = x^2開立方根,連續
But, 在0開立方根無限大不可表示,如同1/x且x趨近於0一樣,所以f(x)只在x = 0不連續

1.
f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f
f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 + 3dx + e
f(1) = a + b + c + d + e + f = 0
f'(1) = 5a + 4b + 3c + 2d + e = 0
f(2) = 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 0
f'(2) = 160a + 64b + 24c + 8d + 2e = 0
f(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e
f'(0) = e = 6
利用上述六個式子去解六個未知數a,b,c,d,e,f,再帶入下列式子
f(0) + f'(4) = f + (1280a + 256b + 48c + 8d + e)
有沒有更快的方法?抱歉小弟交大畢業的腦袋暫時想不到......<div class='locked'><em>瀏覽完整內容,請先 <a href='member.php?mod=register'>註冊</a> 或 <a href='javascript:;' onclick="lsSubmit()">登入會員</a></em></div>

lssh10523 發表於 2017-6-3 05:41 AM

f(1)=f(2)=f(3)=0
所以有(x-1)(x-2)(x-3)因式
可令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(ax^2+bx+c)
前面展開後f(x)=(x^3-6x^2+11x-6)(ax^2+bx+c)
f'(x)=...  (微前乘後+微後乘前)
再用f'(0) & f'(1) & f'(2) 三個條件解a=3/20 & b=-9/20 & c=3/10
整理後
f(x)=(3/20)*(x-1)(x-2)(x-3)*(x^2-3x+2)
=(3/20)[(x-1)^2]*[(x-2)^2]*(x-3)
f'(x)=不展開 直接微分 雖然式子長 但之後代入數字時會比較容易算
f(0)=-6c=-9/5
f'(4)=72/5
Ans=63/5

lssh10523 發表於 2017-6-3 05:54 AM

相切...相切點(同時滿足線與三次函數) & 切線斜率
y=x  所以可假設相切點為(m,m) 且可知切線斜率=1

相切點同時滿足三次函數
m=m^3-3m^2+am.......(1)

三次函數於該點的切線斜率=該點的導數值=y'(m)
1=y'(m)=3m^2-6m+a.......(2)

從(2) 可知 a=-3m^2+6m+1
代入(1)得m=m^3-3m^2+m(-3m^2+6m+1)
整理後(m^2)(-2m+3)=0
m=0 或 m=3/2
所以a=1 或 a=13/4<br><br><br><br><br><div></div>
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