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待定係數法
本帖最後由 u937121672 於 2021-8-3 12:13 AM 編輯用待定係數法求非齊次線性常微分方程式通解及初始值
General solutions and initial values ofnon-coherent linear ordinary differential equations using the method ofcoefficients to be determined
1. y’’+ 5y’+6y=2e^(-x)
2. y’’+3y’+2y=12x^2
3. 解初始值 y’’+4y=8x y(0)= -3 y’(0)=0
求救大神
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so nice!!!!{:45:} (1)
設yp = k*e^(-x)為方程式之一特解
代入得
k*e^(-x)-5k*e^(-x)+6k*e^(-x)=2k*e^(-x)=2*e^(-x)
k=1, yp=e^(-x)
設yc=e^mx為y’’+ 5y’+6y=0的通解
代入得(m^2+5m+6)*e^mx=0
m=-2 or -3
所以yc=C1*e^(-2x)+C2*e^(-3x)
方程式通解y=yp+yc=e^(-x)+C1*e^(-2x)+C2*e^(-3x)
(2)
設yp=ax^2+bx+c為方程式之一特解
代入得2ax^2+(6a+2b)x+(2a+3b+2c)=12x^2
比對係數，得a=6, b=-18, c=21
即yp=6x^2-18x+21
設yc=e^(mx)為y’’+3y’+2y=0的通解
代入得(m^2+3m+2)*e^(mx)=0
m=-1 or -2
所以yc=C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)
方程式通解y=yp+yc=6x^2-18x+21+C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)
(3)
設yp=kx為y’’+4y=8x的特解之一
代入得4kx=8x，k=2, yp=2x
設yc=e^(mx)為y’’+4y=0的通解
代入得(m^2+4)e^(mx)=0
m= 2i or -2i
yc=B1*e^(2ix)+B2*e^(-2ix)
=(B1+B2)*cos(2x)+[(B1-B2)*i]*sin(2x)
=C1*cos(2x)+C2*sin(2x)
y=yp+yc=2x+C1*cos(2x)+C2*sin(2x)
代入y(0)= -3，得C1=-3
代入y’(0)=0，得2C2+2=0, C2=-1
所以y=2x-3*cos(2x)-sin(2x)
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