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bed321654987 發表於 2016-7-6 09:44 PM

一題積分不會算

如圖，請問提供這題的詳細的步驟嗎?
實在不知道從何下手 感謝

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howado 發表於 2016-7-7 05:18 PM

可以試用Taylor's series 或 Laplace Transform解題.

上網找integral sinx/x dx.有許多解題的方法

u06m4rmp4 發表於 2016-7-7 05:40 PM

int(0~inf) sin(x)/x dx
= int(0~inf) sin(x) * ( int(0~inf) exp(-xt) dt ) dx
= int(0~inf) int(0~inf) sin(x) * exp(-xt) dx ) dt
= int (0~inf) 1/(1+t^2) dt
= arctan(inf)-arctan(0)
= pi/2


補充內容 (2016-7-7 05:40 PM):
有什麼疑問在問吧

antonius 發表於 2016-9-6 02:17 PM

  可以列式得詳細一點嗎? 分部積分和變數轉換如何這樣用? 這題可不是開玩笑的.
       ?????

americapan 發表於 2016-9-9 10:57 PM

請大laplace轉換解題喔~~~基本題<br><br><br><br><br><div></div>

shanewang43 發表於 2017-7-17 04:29 AM

請大大們看看吧 看我有沒有錯

joebin 發表於 2017-7-21 01:55 AM

本帖最後由 joebin 於 2017-7-21 01:57 AM 編輯

∫(sinx/x)dx = ∫(sinx)(1/x)dx由於1/x = ∫(e^(-xt)dt且x和t無關聯性
所以能替換掉1/x得到，∫ [∫(sinx*e^(-xt))dx] dt

先解決中括號內的積分，假設g(x) = sinx，h(x) = -e^(-xt)/t
則d/dx = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
由於h'(x) = e^(-xt)，g(x)h'(x) = sinx*e^(-xt)
所以p(x) = ∫(sinx*e^(-xt))dx = ∫dx
= ∫/dx - g'(x)h(x)]dx = g(x)h(x) - ∫dx
= -sinx*e^(-xt)/t - (1/t)*∫(cosx*e^(-xt))dx
假設f(x) = ∫(cosx*e^(-xt))dx，再做一次上述的做法你會得到
∫(cosx*e^(-xt))dx = cosx*e^(-xt)/t + (1/t)*∫(sinx*e^(-xt))dx
把f(x)帶回p(x)並將以積分玩得取上下限後會得到
p(x) = 1/t^2 - (1/t^2)p(x)，因此p(x) = 1/(1+t^2)

則∫(sinx/x)dx = ∫dt = arctan(t)，帶上下界得到π/2
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